Topoloji Nedir? Topolojik Uzay Nedir?

Arkadaşlarınız ile Paylaşın
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Topoloji Nedir?

Topoloji nedir sorusuna şöyle cevap verebiliriz. Topoloji, aralarında belirli bir ilişki bulunan fiziksek ya da soyut ögelerden oluşmuş kümelerin belirli özelliklerini, özellikle de kümenin biçim değiştirme altında değişmeden kalan özelliklerini inceleyen matematik dalıdır.

Örneğin bir kil topağı, topolojik anlamda değişmez kalarak biçim değişikliğine uğratılan yani küre biçimine ya da ince uzun çubuk biçimine sokulan bir fiziksel noktalar kümesi olarak düşünülebilir.

Topoloji, matematiğin diğer dallarının yanı sıra daha önce matematik yöntemleriyle ele alınıp incelenebileceği öngörülmeyen başka bilim dallarını da etkilemiştir. Topoloji dalı aşağıdaki alanları etkilemiştir:

  • Simgesel mantık
  • Mekanik aygıtların ve  dağıtım şebekelerinin tasarımı
  • Coğrafya haritalarının düzenlenmesi
Mekanik aygıtların ve dağıtım şebekelerinin tasarımı hakkında daha fazla bilgi için buraya tıklayabilirsiniz.

Topoloji Tarihçesi

18. yüzyılda Leonhard Euler’in 19. yüzyılda ise Bernhard Riemann ve Henri Poincare’nin geometriye ilişkin çalışmalarıyla ortaya çıkan topoloji, bu nedenle başlangıçta bir geometri dalı olarak ele alındı. Georg Cantor’un sayılar ve kümeler kuramına ilişkin çalışmaları topoloji sınırlarını genişletti.

Leonhard Euler hakkında daha fazla bilgi için buraya tıklayabilirsiniz.

Hollandalı matematikçi L. E. J. Brouwer’in topolojinin ilgi alanının yeniden belirlemesi ve kapsamının genelliğini ortaya koymasının ardından geometri alanına girmeyen çeşitli kavramlar da topoloji konuları olarak ele alınmaya başlandı.

Poincare’in yapıtları, cebirsel topoloji olarak adlandırılan ve topoloji problemlerinin çözümünde cebirsel kavram ve yöntemleri kullanıldığı topoloji dalının sistemli bir biçimde ele alınıp işlendiği ilk çalışmaları oluşturur.

Bu konuda en ünlü örnek Rene Descartes’in 1635 yılında bulmuş olduğu ve Euler tarafından 1752 yılında yeniden keşfedilen formüldür. Bun göre, deliksiz olmak koşulu ile her çok yüzlüde, köşelerin sayısı ile yüzlerin sayısı toplamından ayrıtların sayısı çıkarıldığında elde edilen sayı 2’dir. Bir delik içeren çok yüzlüde ise bu sayı 0’a eşittir. Bu sayılar topolojik biçim bozulmalarından etkilenmeyen cebirsel büyüklüklerdir. Bir başka deyişle bu sayıalr yalnızca cismi topolojik niteliğine bağlıdır.

Topolojik Uzay

Matematikte lisede kullandığımız Eukleides uzayını kullanmaktayız. Bu uzayda yakınlık kavramı uzaklıklara göre tanımlanırken. Topolojik uzayda kümeler arasındaki ilişkilere göre tanımlanır. Her topolojik uzay şu ögelerden oluşur:

  • Noktalar kümesi
  • Aksiyomatik biçimde açık kümeler olarak tanımlanan bir alt kümeler sınıfı
  • Kümeler üzerinde tanımlanmış birleşim ve kesişim işlemleri

Ayrıca bir başka özellik de şudur:

  • Tanımlanan açık kümelerin her sonlu sayıda kesişimi yine açık küme olmalıdır.
  • Tanımlanan açık kümelerin sonsuz sayıda açık kümelerin birleşimi yine açık küme olmalıdır.

 

Bunlar İlginizi Çekebilir

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

En Çok Okunanlar