Matematikte İspat Yöntemleri Nelerdir?

Arkadaşlarınız ile Paylaşın
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Matematikte İspat Yöntemleri

Matematikte ispat önemli bir yer tutar. Matematikte ispatın ilk kullanımı milattan öncedir. Milattan önce 6. yüzyılda yaşayan Tales ve milattan önce 3. yüzyılda yaşayan Öklid matematikte ispatın öncülerindendir. MAtematikte ispat yöntemleri hakkında detaylı bilgiden önce matematikte ispatın öneminden bahsedeceğiz.

Matematikte İspatın Özellikleri

Matematikte ispat yöntemlerine geçmeden önce, ispatın neden önemli olduğuna değinelim. Öncelikle matematikte ispatın olmazsa olmaz özellikleri şunlardır:

  • Hatasızlık
  • Şeffaflık
  • Kesinlik
  • Zerafet

Matematikte İspatın Önemi

Matematikte ispatın önemli olmasının nedenlerinden bazıları şunlardır:

  • Matematik; geometrik, cebirsel ve analitic bir çok nesneye sahiptir. Bu nesnelerin doğru bir şekilde herkes tarafından kesin olarak anlaşılması için ispatlara ihtiyaç vardır. Bu nesneler bazen ön sezilerle anlaşılabilir fakat bazen de bu sezgiler bizi yanlışa götürebilir.

 

  • Matematikte ispat, fikirlerin arkasındaki sebepleri açıklaması bakımından da önemlidir. Yani kafamızda oluşan sezgilerin sebebini ve temelini fark etmemize yarar.
  • Matematik ispatın önemli olmasının bir başka sebebi ise matematiğin pedagojik ilerlemesidir. Yani bazı kavramlar anlaşılmadan diğer kavramlar anlaşılamaz. Bu yüzden ispat sayesinde daha iyi anlaşılan kavramlar bize matematik dünyasında yeni kapılar açar.

 

  • Bir başka önemi ise matematikte ispat, genel esaslar üzerinde diğer matematikçilerle iletişim kurmasını sağlar.

Matematikte ispatın önemlerinden sonra şimdi de matematikte ispat yöntemleri hakkında bilgi verelim.

Matematikte İspat Yöntemleri

Matematikte bir çok güzel yazılmış ispat bulunmaktadır. Biz burada matematikte ispat yöntemleri arasından temel olanların bazılarından bahsedeceğiz. Bu yöntemler hakkında genel bilgilerden sonra, örneklerini de sunacağız.

1- Karşı Örnek Gösterme

Bu matematikte ispat yöntemleri arasında en kolayı ve aynı zamanda en zevkli olanıdır. Fakat bu yöntem bir şeyin doğru olduğunu değil, yanlış olduğunu ispat etme yöntemidir. Örneğin, biri herhangi iki doğal sayının toplamının her zaman çift olduğunu ileri sürdü. Böyle bir durumda aksi bir örnek bu önermenin yanlış olduğunu ispat etmeye yeterlidir.

Örneğin; 4+6 = 10 denediniz. Bu durumda çift çıktı. Fakat bir denemede çift çıkması onun her zaman çift olacağı anlamına gelmez. Ne demişler bir çiçekle bahar gelmez. Sonra 4+5 =9 denediniz. Böylece herhangi iki doğal sayının toplamının her zaman çift olmadığını karşıt örnek göstererek ispatlamış oldunuz.

Örneğin, tüm elmalar kırmızıdır önermesini çürütmek için bir adet yeşil elma göstermeniz yeterlidir. Eğer bir adet yeşil elma gösteremezseniz bu hala önermenin doğru olduğunu göstermez. Bu durumda önermenin doğru olduğunu ispatlamak için matematikte ispat yöntemlerinden bir diğerine geçmek gerekir.

2- Doğrudan İspat

Yukarıdaki gibi kolayca karşıt bir örnek bulamadığımız önermeler doğru da olabilir yanlış da. Burada yazımızın en başlarında bahsettiğimiz önsezi devreye girer. Tecrübelerimize binaen bir fikrimiz oluşur. Eğer bu fikrimiz elimizdeki önermenin doğru olduğu yönünde ise dorudan ispat yöntemi biçilmiş kaftandır.

Matematikte ispat yöntemleri arasındaki en temel yöntem olan matematikte doğrudan ispat yöntemi, önceden gösterilmiş ya da kabul edilmiş doğrulardan yola çıkarak mantık silsilesiyle yeni doğruya ulaşmaya çalışmaktır.

Örneğin; elimizdeki önerme şu olsun: İki çift doğal sayının toplamı her zaman çift doğal sayıdır. Bu önermeyle karşılaştığımızda ilk iş birkaç örnek ile deneyerek karşıt örnek bulabileceğimize bakmaktır. Eğer bunu başaramadı isek olayı genel hale getirmemiz gerekir. Kabul edilmiş doğrulardan yola çıkmamız gerekir.

Bu durumda  m ve n doğal sayı iken  bu çift sayılardan birine 2n diğerine 2m diyelim.

2n+2m= 2 (m+n) ve  m+n elemandır doğal sayı olduğu için iki çift sayının toplamı her zaman çift sayıdır diyebiliriz.

3-Dolaylı İspat ( Proof by Contrapositive )

Matematikte ispat yöntemleri arasında yer alan bu yöntem ile bir sonraki değineceğimiz yöntem genellikle birbirine karıştırılır. Bu yöntem diğer yöntemden daha basittir. Bu yöntemin dayandığı temel nokta mantık dersinde görülen P => Q önermesinin, ¬Q =>¬P önermesine denk olmasıdır. Yani bizden istenen ispat P => Q iken biz onu doğrudan ispatlayamayacağımızı düşündüğümüzde ¬Q =>¬P  önermesini doğrudan ispatlarız.

Örneğin; n bir tam sayı olsun.  Eğer n² tek ise, n tam sayısı da tektir. Önermesini ispatlayalım. Bu önermeyi doğrudan ispatlamak biraz zor. O yüzden önce P => Q önermesini ¬Q =>¬P  şekline getirelim. Yani ilk önermemize denk olan yeni önermemiz şu şekilde olur: n bir tam sayı olsun. Eğer n çift ise, n² çifttir. Şimdi bu önermeyi doğrudan ispatlayabiliriz.

n = 2 k ⇒ n² = (2k)² = 4k² = 2 (2k² ),  2k² bir tam sayı olduğuna göre n² bir çift sayıdır.

4-  Olmayana Ergi ( Proof by Contradiction )

Matematikte ispat yöntemleri arasında yer alan ve bazı matematikçiler tarafından beğenilmeyen bu yöntem yukarıdaki yöntemin biraz daha karışık halidir. Öncelikle ispatlayacağımız önerme yine  P⇒Q şeklindedir. Mantık dersinde şöyle bir denklik mevcuttur: ¬( P⇒Q) ⇔ (P ∧ ¬ Q). Bu denkliğe baktığımızda  P⇒Q önermesinin doğru olması demek ¬( P⇒Q) önermesinin yanlış olması demektir. Bu durumda bütün denkliğin doğru olması için (P ∧ ¬ Q) önermesinin de yanlış olması gerekmektedir. İşte bizim ispat için yapmamız gereken elimizde P⇒Q şeklinde bir önerme olduğunda (P ∧ ¬ Q) önermesinin yanlış olduğunu yani çelişki barındırdığını isapatlamamızdır.

Örneğin;  a² + b² = c² denklemini sağlayan tek ardışık negatif olmayan tam sayılar 3,4 ve 5 tam sayılarıdır önermesini ispatlayalım.

Önce bu önermeyi P⇒Q haline getirelim. Eğer a,b ve c;  a² + b² = c² denklemini sağlayan ardışık negatif olmayan tam sayılar ise; a=3, b=4 c=5 tam sayılarına eşittir.

Şimdi burada

P = a,b ve c;  a² + b² = c² denklemini sağlayan ardışık negatif olmayan tam sayılar

Q= a=3, b=4 c=5 tam sayılarına eşittir.

Şimdi biz yukarıda yaptığım açıklamalar doğrultusunda (P ∧ ¬ Q) önermesini doğru kabul edip bir çelişki bulacağız. Yani  a, b ve c;  a² + b² = c² denklemini sağlayan ardışık negatif olmayan tam sayılar ve a, b ve c sırasıyla 3, 4 ve 5’e eşit değildir.

Bu durumda a≠ 3 ve b= a +1, c= a + 2 ⇒  a² + b² = c² ⇒ a² + (a + 1 )² = ( a + 2 )²

Bu denklemi açtığımızda a² – 2a – 3 = 0 denklemini elde ederiz. Bu da ( a- 3 ) (a + 1) = 0

Bu durumda a= 3 veya a= -1 Başta biz a≠ 3 dedik ve a negatif olmayan bir tam sayı dedik. Bu yüzden bu önerme yanlış. Yani çelişki var.

Başa dönecek olursak; Biz ¬( P⇒Q) ⇔ (P ∧ ¬ Q) önermesinin doğru olmasını istiyoruz. (P ∧ ¬ Q) önermesini yanlış olduğunu ispatladık. O zaman ¬( P⇒Q) önermesi yanlış olmalı yani ( P⇒Q) önermesi doğru olmalı.

5- Tümevarım Yöntemi

Matematikte ispat yöntemleri arasında daha çok genellemek amacıyla yapılan bu yönteme daha çok matematikte tam sayıları içerenn önermeleri iapatlarken başvurulur. Aslında bu yöntem yüzyıllardır bilinmektedir. fakat bu yöntemi formüle eden kişi 1830’lu yıılarda Augustus De morgan olmuştur. Bu yöntem özellikle; çizge kuramında, sayı kuramında ve bilgisayar biliminde oldukça faydalıdır.

Örneğin; ardışık tek sayıların toplamına bakalım.

1 + 3 + 5 = 9

1+ 3 + 5 + 7 = 16

şöyle bakıldığında bize sezgileirmiz 3² = 9 ve 4² = 16 olduğunda ilk n tane ardışık tek sayının toplamının n² olduğunu söyler. Fakat; matematikte sezgiler yetmez. Bunun yerine kesin ispat gerekir. Şimdi bunu ispatlamak için tüm sayıları kontrol etmemeiz gerekir. Fakat bu imaknsız olduğu için burada devreye tümevarım yöntemi girer.

Bu yöntem şöyle işler:

Öncelikle ilk dizinin yani 1=1 ve 1² = 1 olduğunu ve 1 + 3 = 4  ve 2² = 4 sağladığını kolayca görür ve ispatlarız. Daha sonra bu durumun n. dizi için de geçerli olduğunu kabul edip ( n+ 1 ). dizi için doğru olup olmadığını kontrol edip genelleriz.

1 + 3 + 5 + ………… + n = ((n-1/2) + 1 )² ifadesin doğru kabul edip aşağıdaki ifadenin doğru olup olmadığına bakarız.

1 + 3 + 5 + ………… + n + ( n + 2) = [((n + 2 )-1/2) + 1 ]² ⇒   ((n² + 2n + 1 ) /4 ) + (n + 2) =((n + 3 ) / 2 )² ⇒

((n² + 2n + 1 ) + 4n + 8 )/ 4 = (n² + 6n + 9) /4 ⇒  n² + 6n + 9 = n² + 6n + 9 

Bu durumda n için doğruysa (n+1) için de doğruyu göstermiş olduk.

 

 

 

Bunlar İlginizi Çekebilir

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

En Çok Okunanlar